已知數(shù)列{an}是首項為1,公差為d的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是首項為1,公比為q(q>1)的等比數(shù)列.
(1)若a5=b5,q=3,求數(shù)列{an·bn}的前n項和;
(2)若存在正整數(shù)k(k≥2),使得ak=bk.試比較an與bn的大小,并說明理由..
(1)Sn=(2)當1<n<k時,an<bn;當n>k時,an>bn;當n=1,k時,an=bn.
【解析】審題引導:①等差數(shù)列與等比數(shù)列對應項的積錯位相減求和;②作差比較.
規(guī)范解答:【解析】
(1)依題意,a5=b5=b1q5-1=1×34=81,故d==20,
所以an=1+20(n-1)=20n-19.(3分)
令Sn=1×1+21×3+41×32+…+(20n-19)·3n-1,①
則3Sn=1×3+21×32+…+(20n-39)·3n-1+(20n-19)·3n,②
①-②,得-2Sn=1+20×(3+32+…+3n-1)-(20n-19)·3n=1+20×-(20n-19)·3n=(29-20n)·3n-29,所以Sn=.(7分)
(2)因為ak=bk,所以1+(k-1)d=qk-1,即d=,
故an=1+(n-1).又bn=qn-1,(9分)所以bn-an=qn-1-
=[(k-1)(qn-1-1)-(n-1)(qk-1-1)]
=[(k-1)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+q+1)].(11分)
(ⅰ)當1<n<k時,由q>1知
bn-an=[(k-n)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+qn-1)]
<[(k-n)(n-1)qn-2-(n-1)(k-n)qn-1]=-
<0;(13分)
(ⅱ)當n>k時,由q>1知
bn-an=[(k-1)(qn-2+qn-3+…+qk-1)-(n-k)(qk-2+qk-3+…+q+1)]
>[(k-1)(n-k)qk-1-(n-k)(k-1)qk-2]
=(q-1)2qk-2(n-k)
>0,(15分)
綜上所述,當1<n<k時,an<bn;當n>k時,an>bn;當n=1,k時,an=bn.(16分)
(注:僅給出“1<n<k時,an<bn;n>k時,an>bn”得2分)
錯因分析:錯位相減時項數(shù)容易搞錯,作差比較后學生不能靈活倒用等比數(shù)列求和公式1-qn=(1-q)(1+q+q2+…+qn-1)
科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領(lǐng)+技巧點撥第八章第3課時練習卷(解析版) 題型:解答題
在正三棱柱ABCA1B1C1中,點D是BC的中點,BC=BB1.
(1)若P是CC1上任一點,求證:AP不可能與平面BCC1B1垂直;
(2)試在棱CC1上找一點M,使MB⊥AB1.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領(lǐng)+技巧點撥第八章第1課時練習卷(解析版) 題型:填空題
如圖所示,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則
(1)當AC,BD滿足條件________時,四邊形EFGH為菱形;
(2)當AC,BD滿足條件________時,四邊形EFGH是正方形.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領(lǐng)+技巧點撥第五章第6課時練習卷(解析版) 題型:填空題
已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an、an+1是函數(shù)f(x)=x2-bnx+2n的兩個零點,則b10=________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領(lǐng)+技巧點撥第五章第5課時練習卷(解析版) 題型:填空題
某科研單位欲拿出一定的經(jīng)費獎勵科研人員,第1名得全部資金的一半多一萬元,第2名得剩下的一半多一萬元,以名次類推都得到剩下的一半多一萬元,到第10名恰好資金分完,則此科研單位共拿出________萬元資金進行獎勵.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領(lǐng)+技巧點撥第五章第5課時練習卷(解析版) 題型:填空題
某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)為________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領(lǐng)+技巧點撥第五章第4課時練習卷(解析版) 題型:解答題
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=3n-1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn= (Sn+1),求數(shù)列{bnan}的前n項和Tn.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領(lǐng)+技巧點撥第五章第3課時練習卷(解析版) 題型:填空題
若數(shù)列{an}滿足lgan+1=1+lgan,a1+a2+a3=10,則lg(a4+a5+a6)=________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領(lǐng)+技巧點撥第五章第1課時練習卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若Sn=(-1)nan-,n∈N?,則a3=________.
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