Question

10．已知正項等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若-3，S₅，S₁₀成等差數列，則S₁₅-S₁₀的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 12

Answer 1

分析 由-3，S₅，S₁₀成等差數列，可得S₁₀-2S₅=3．由數列{a_n}為等比數列可知，S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀成等比數列，可得（S10-S5）2=S5（S15-S10），變形利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵-3，S₅，S₁₀成等差數列，
∴2S₅=S₁₀-3，
∴S₁₀-2S₅=3．
由數列{a_n}為等比數列可知，S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀成等比數列，
∴（S10-S5）2=S5（S15-S10），
S₁₅-S₁₀=$\frac{（{S}_{10}-{S}_{5}）^{2}}{{S}_{5}}$=$\frac{（{S}_{5}+3）^{2}}{{S}_{5}}$=S₅+$\frac{9}{{S}_{5}}$+6≥12，當且僅當S₅=3時上式“=”成立．
則S₁₅-S₁₀的最小值為12．
故選：D．

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式及其性質、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．