分析 (1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,解方程可得m;
(2)求出函數(shù)h(x)的表達(dá)式,將函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)根,構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題進(jìn)行求解即可.
(3)f(x)>g(x)-x3即為ex+m>ln(x+1)+2.由函數(shù)y=ex-x-1,求得最小值,可得ex≥x+1,則ex+m>x+m+1,再由h(x)=x+m+1-ln(x+1)-2=x+m-ln(x+1)-1,求出導(dǎo)數(shù),求得最小值,由條件即可得證.
解答 (1)解:因?yàn)閒(x)=ex+m-x3,所以f′(x)=ex+m-3x2.
因?yàn)榍y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為1,
所以f′(0)=em=1,
解得m=0.
(2)若h(x)=g(x-1)-ax-2=lnx+2-ax-2=lnx-ax在(0,+∞)有兩個(gè)零點(diǎn),
等價(jià)為lnx-ax=0在(0,+∞)有兩個(gè)不同的根,
即a=$\frac{lnx}{x}$,設(shè)g(x)=$\frac{lnx}{x}$,則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,由g′(x)>0得0<x<e,由g′(x)<0,得x>e,
即當(dāng)x=e時(shí),函數(shù)g(x)取得極大值g(e)=$\frac{1}{e}$,
又g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)1,當(dāng)x→0時(shí),g(x)→-∞,
當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→0,
則要使a=$\frac{lnx}{x}$在[0,+∞)上有兩個(gè)不同的根,則0<a<$\frac{1}{e}$.
(3)證明:f(x)>g(x)-x3即為ex+m>ln(x+1)+2.
由y=ex-x-1的導(dǎo)數(shù)為y′=ex-1,
當(dāng)x>0時(shí),y′>0,函數(shù)遞增;當(dāng)x<0時(shí),y′<0,函數(shù)遞減.
即有x=0處取得極小值,也為最小值0.
即有ex≥x+1,則ex+m≥x+m+1,
由h(x)=x+m+1-ln(x+1)-2=x+m-ln(x+1)-1,
h′(x)=1-$\frac{1}{x+1}$,當(dāng)x>0時(shí),h′(x)>0,h(x)遞增;
-1<x<0時(shí),h′(x)<0,h(x)遞減.
即有x=0處取得最小值,且為m-1,
當(dāng)m≥1時(shí),即有h(x)≥m-1≥0,
即x+m+1≥ln(x+1)+2,
則有f(x)>g(x)-x3成立.
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值,考查不等式的證明,注意運(yùn)用構(gòu)造法,以及不等式的傳遞性,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,綜合性較強(qiáng),有一定的難度.
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A. | 0 | B. | 3 | C. | 6 | D. | 9 |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | $\sqrt{2}$ | D. | $\sqrt{5}$ |
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