Question

10．已知函數(shù)f（x）=2xsin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$，有下列四個結(jié)論；
①函數(shù)y=f（x）由無數(shù)多個極值點；
②?x∈R，都有f（-x）=-f（x）成立；
③?M＞0，至少存在一個實數(shù)x₀，使得f（x₀）＞M；
④存在常數(shù)T≠0，對于?x∈R，恒有f（x+T）=f（x）成立，
其中正確結(jié)論的序號是①③（將所有正確結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

分析 ①先化簡函數(shù)f（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），得到f′（x）=0的根有無數(shù)個，
②函數(shù)為偶函數(shù)，
③判斷函數(shù)f（x）存在大于0的實數(shù)，
④根據(jù)函數(shù)的周期性進(jìn)行判斷．

解答 解：f（x）=2xsin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=xsinx，則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=sinx+xcosx，
由f′（x）=0得sinx+xcosx=0，得sinx=-xcosx，當(dāng)cosx=0時，sinx=±1，此時方程無解，
則cosx≠0，即tanx=-x，此時方程tanx=-x有無數(shù)多個解，則函數(shù)y=f（x）由無數(shù)多個極值點，故①正確，
∵f（x）=xsinx為偶函數(shù)，∴?x∈R，都有f（-x）=f（x）成立，故②錯誤，
當(dāng)x＞0，且sinx＞0時，f（x）=xsinx＞0，則③?M＞0，至少存在一個實數(shù)x₀，使得f（x₀）＞M成立，故③正確，
函數(shù)f（x）不是周期函數(shù)，故?x∈R，恒有f（x+T）=f（x）不成立，故④錯誤，
故答案為：①③

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的奇偶性，極值，周期性以及取值，考查學(xué)生的推理能力．