Question

10．下列函數(shù)中既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是（　�。�

• A． f（x）=x³（x∈（0，+∞））
• B． f（x）=sinx
• C． f（x）=$\frac{lnx}{x}$
• D． f（x）=x|x|

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)的定義域的對(duì)稱性，正弦函數(shù)在R上的單調(diào)性，以及含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法，二次函數(shù)的單調(diào)性便可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而找出正確選項(xiàng)．

解答 解：A．f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
∴該函數(shù)不是奇函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．正弦函數(shù)f（x）=sinx在定義域R上沒有單調(diào)性；
∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．該函數(shù)定義域?yàn)閧x|x＞0}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；
∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．該函數(shù)定義域?yàn)镽，且f（-x）=-x|x|=-f（x）；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
$f（x）=x|x|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
f（x）=x²在[0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）=-x²在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且這兩個(gè)函數(shù)在原點(diǎn)的值都為0；
∴f（x）=x|x|在R上單調(diào)遞增，∴該選項(xiàng)正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，正弦函數(shù)在R上的單調(diào)性，奇函數(shù)的定義及判斷過程，含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及分段函數(shù)的單調(diào)性．