Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lg（3+x）﹣lg（3﹣x）
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）若f（a）=4，求f（﹣a）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=lg（3+x）﹣lg（3﹣x）

其定義域滿(mǎn)足： ，解得：﹣3＜x＜3．

故得f（x）的定義域數(shù)為{x|﹣3＜x＜3}

（2）解：由（1）可得f（x）的定義域數(shù)為{x|﹣3＜x＜3}．設(shè)﹣3＜x1＜x2＜3，

則f（x1）﹣f（x2）=lg（3+x1）﹣lg（3﹣x1）﹣lg（3+x2）+lg（3﹣x2）=lg =lg

因?yàn)?+3（x1﹣x2）﹣x1x2＞9+（x2﹣x1）﹣x1x2＜0，

∴ ＜1，

即f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x1）＜f（x2），即f（x）是（﹣3，3）上的增函數(shù)

（3）解：∵函數(shù)的定義域?yàn)椋ī?，3）．

∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∵f（﹣x）=lg（3﹣x）+lg（3+x）=f（x），

∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．

∴f（a）=4，則f（﹣a）=f（a）=4

【解析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)要大于0列不等式組求解定義域．（2）利用定義證明其單調(diào)性．（3）判斷函數(shù)的奇偶性，f（a）=4，求解f（﹣a）的值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的定義域及其求法(求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零)，還要掌握函數(shù)的奇偶性(偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．