Question

已知函數(shù)f（x）=m•log₂x+t的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，1）、點(diǎn)B（16，3）及點(diǎn)C（S_n，n），其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，n∈N^*．
（1）求S_n和a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，b_n=f（a_n）-1，不等式T_n≤b_n的解集，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）將A（4，1）、B（16，3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）中求出m的值，然后將點(diǎn)C（S_n，n）坐標(biāo)代入f（x）中，即可求得Sn的表達(dá)式，然后可以求出an的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)（1）中求得的an的通項(xiàng)公式寫出bn的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得Tn的表達(dá)式，令T_n≤b_n即可求出滿足條件的解集．

解答：解：（1）將A（4，1）、B（16，3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）得：

2m+t=1 4m+t=3

，
解得

m=1 t=-1

．        （1分）     
所以f（x）=log₂x-1．由條件得：n=log₂S_n-1．
得：S_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，a_n=S₁=4，
所以 an=

2n當(dāng)n≥2，n∈N時(shí) 4當(dāng)n=1時(shí)

．（2分）
（2）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=T₁=0，不等式成立．（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=f（a_n）-1=n-2，
Tn=0+

(0+n-2)(n-1)

2

=

n2-3n+2

2

．
∵Tn-bn=

n2-3n+2

2

-(n-2)=

n2-5n+6

2

=

(n-2)(n-3)

2

≤0，
解得：2≤n≤3．（3分）
∵n∈N⁺，∴n=2或3
所求不等式的解集為{1，2，3 }．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，是高考的熱點(diǎn)問題，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．