Question

已知拋物線P：y²=2x，直線l與拋物線P交于兩點(diǎn)M、N，若

OM

•

ON

=-1恒成立，則直線l必經(jīng)過(guò)點(diǎn)

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線MN方程為：x=my+a，與拋物線方程y²=2x聯(lián)立得：y²=2my+2a，利用韋達(dá)定理與

OM

•

ON

=-1，可得a²-2a+1=0，于是可求得a=1，從而可知答案．

解答： 解：設(shè)直線MN方程為：x=my+a，
與拋物線方程y²=2x聯(lián)立得：y²=2my+2a，
即y²-2my-2a=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則y₁+y₂=2m，y₁•y₂=-2a，
∵

OM

•

ON

=-1，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=-1；
又x₁•x₂=（my₁+a）（my₂+a）
=m²y₁•y₂+ma（y₁+y₂）+a²
=m²（-2a）+ma×2m+a²
=a²，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=-1?a²-2a+1=0，
解得a=1；
由直線方程x=my+1得MN恒過(guò)定點(diǎn)（1，0），
故答案為：（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，著重考查直線與拋物線的位置關(guān)系，突出考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．