Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，地面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求證：DE⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角E-BD-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PA∥平面EDB．
（Ⅱ）求出

BC

=(-1，0，0)，

PC

=(0，1，-1)，

DE

=(0，

1

2

，

1

2

)，利用向量法能證明DE⊥平面PBC．
（Ⅲ）求出平面EDB的法向量和平面CDB的法向量，利用向量法能示出二面角E-BD-C的平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
連結(jié)AC，設(shè)AC交BD于點(diǎn)G，
連結(jié)EG，依題意得A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，

1

2

，

1

2

），
∵底面ABCD是正方形，∴G是正方形ABCD的中點(diǎn)，∴G（

1

2

，

1

2

，0），
∴

PA

=(1，0，-1)，

EG

=(

1

2

，0，-

1

2

)，
∴

PA

=2

EG

，即PA∥EG，
∵EG?平面EDB，PA不包含于平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（Ⅱ）證明：依題意B（1，1，0），C（0，1，0），

BC

=(-1，0，0)，

PC

=(0，1，-1)，
又

DE

=(0，

1

2

，

1

2

)，
∴

BC

•

DE

=0，

PC

•

DE

=0+

1

2

-

1

2

=0，
∴BC⊥DE，PC⊥DE，
又BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC．
（Ⅲ）解：設(shè)平面EDB的法向量

n

=(x，y，z)，

DE

=(0，

1

2

，

1

2

)，

DB

=(1，1，0)，
∴

n • DE = 1 2 y+ 1 2 z=0 n • DB =x+y=0

，
取x=1，得

n

=(1，-1，1)，
又平面CDB的法向量

m

=(0，0，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

3

=

3

3

，
∴二面角E-BD-C的平面角的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查PA∥平面EDB、DE⊥平面PBC的證明，考查二面角E-BD-C的平面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．