【題目】已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)），

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意，

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)f(x)求導(dǎo)， ，代入x=1,可求得，切點坐標(biāo)再點斜式可求切線方程。(2)定義域因為又得，可得單調(diào)區(qū)間。（3）， 等價于在時恒成立，由（2）知,當(dāng)時， 的最大值，即證。

試題解析：（Ⅰ） 的定義域為,

由，得，∴點A的坐標(biāo)為.

，所以，

所以曲線點A處的切線方程為

（Ⅱ），所以

令得，因此當(dāng)時， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時， 單調(diào)遞減.

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.

（Ⅲ）證明：因為，所以， 等價于在時恒成立,

由（Ⅱ）知,當(dāng)時， 的最大值，

故，

因為時，

所以，

因此任意， .

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了分析某個高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議．現(xiàn)對他前次考試的數(shù)學(xué)成績、物理成績進(jìn)行分析．下面是該生次考試的成績．

數(shù)學(xué)

108

103

137

112

128

120

132

物理

74

71

88

76

84

81

86

（Ⅰ）他的數(shù)學(xué)成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？請給出你的說明；

（Ⅱ）已知該生的物理成績與數(shù)學(xué)成績是線性相關(guān)的，求物理成績與數(shù)學(xué)成績的回歸直線方程

（Ⅲ）若該生的物理成績達(dá)到90分，請你估計他的數(shù)學(xué)成績大約是多少？

（附： ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知（， ）展開式的前三項的二項式系數(shù)之和為16，所有項的系數(shù)之和為1.

（1）求和的值；

（2）展開式中是否存在常數(shù)項？若有，求出常數(shù)項；若沒有，請說明理由；

（3）求展開式中二項式系數(shù)最大的項.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了弘揚民族文化，某校舉行了“我愛國學(xué)，傳誦經(jīng)典”考試，并從中隨機(jī)抽取了100名考生的成績（得分均為整數(shù),滿足100分）進(jìn)行統(tǒng)計制表，其中成績不低于80分的考生被評為優(yōu)秀生，請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，用頻率估計概率，回答下列問題.

分組

頻數(shù)

頻率

5

0.05

0.20

35

25

0.25

15

0.15

合計

100

1.00

（1）求的值及隨機(jī)抽取一考生恰為優(yōu)秀生的概率；

（2）按頻率分布表中的成績分組，采用分層抽樣抽取20人參加學(xué)校的“我愛國學(xué)”宣傳活動，求其中優(yōu)秀生的人數(shù)；

（3）在第（2）問抽取的優(yōu)秀生中指派2名學(xué)生擔(dān)任負(fù)責(zé)人，求至少一人的成績在的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）當(dāng)時，若存在實數(shù)使得不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在等腰直角三角形中， ， 為的中點，點在上，且，現(xiàn)沿將折起到的位置，使，點在上，且.

(1)求證： 平面；

(2)求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線（θ為參數(shù)），將上的所有點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的和2倍后得到曲線，以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線．

（1）試寫出曲線的極坐標(biāo)方程與曲線的參數(shù)方程；

（2）在曲線上求一點，使點到直線的距離最小，并求此最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)， .

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若為整數(shù)， ，且當(dāng)時， 恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】汽車托運重量為P(kg)的貨物時，托運每千米的費用(單位：元)標(biāo)準(zhǔn)為：

y=

試編寫一程序求行李托運費.

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