Question

3．已知lga+lgb=0，則滿足不等式$\frac{a}{{a}^{2}+1}$+$\frac{^{2}+1}$≤λ的實數(shù)λ的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 通過對數(shù)的運算法則可知ab=1，利用基本不等式可知a+b≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號），進而代入化簡即得結(jié)論．

解答 解：∵lga+lgb=0，
∴l(xiāng)g（ab）=0，即ab=1，且a＞0、b＞0，
∴λ≥$\frac{a}{{a}^{2}+1}$+$\frac{^{2}+1}$=$\frac{a}{{a}^{2}+ab}$+$\frac{^{2}+ab}$=$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+a}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{a+b}$，
由基本不等式可知a+b≥2$\sqrt{ab}$=2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號），
∴0＜$\frac{1}{a+b}$≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{{a}^{2}+1}$+$\frac{^{2}+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{a+b}$≤$\frac{1}{4}$，
∴λ≥$\frac{1}{4}$，
故答案為：[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，涉及基本不等式、對數(shù)的運算等基本知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．