Question

16．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0），若點(diǎn)M（x，y）為平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x≤1}\\{y≤2}\end{array}\right.$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|的取值范圍是（　　）

• A． [$\sqrt{5}$，2$\sqrt{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，1]
• C． [$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 由題意作出可行域，由向量的坐標(biāo)加法運(yùn)算求得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$的坐標(biāo)，把|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)D（-1，0）的距離，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)M（x，y），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$=（1+x，y），
設(shè)z=|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{（1+x）^{2}+{y}^{2}}$，
則z的幾何意義為M到定點(diǎn)D（-1，0）的距離，
由約束條件作平面區(qū)域如圖，

由圖象可知當(dāng)M位于A（1，2）時(shí)，z取得最大值z(mì)=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)M位于E時(shí)，z取得最小值z(mì)=$\frac{|-1+0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
即|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|的取值范圍是[$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$]，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等解題思想方法，考查了向量模的求法，是中檔題．