Question

4．把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，形成的三棱錐A-BCD的正視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為$\frac{1}{4}$，二面角B-AC-D的余弦值為$-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，得到幾何體側(cè)視圖的形狀，求出三角形邊長(zhǎng)，代入三角形面積公式求得側(cè)視圖的面積；再找出二面角B-AC-D的平面角，求解三角形可得二面角B-AC-D的余弦值．

解答 解：由三視圖可得原幾何體如圖，

該三棱錐的側(cè)面ABD與底面CBD是全等的等腰直角三角形，且平面ABD⊥底面CBD，
過(guò)A作AO⊥BD，垂足為O，連接CO，則側(cè)視圖為等腰直角三角形AOC，
∵AO=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴${S}_{△AOC}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{4}$；
取AC的中點(diǎn)G，連接BG，DG，則∠BGD為二面角B-AC-D的平面角．
∵△ADC、△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，∴$BG=DG=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在△BGD中，由余弦定理可得：cos∠BGD=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=-$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{4}，-\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角的求法，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，是中檔題．