Question

如圖，A、B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，BC與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上．
（1）若

EC

EB

=

1

3

，

ED

EA

=

1

2

，求

DC

AB

的值；
（2）若EF²=FA•FB，證明EF∥CD．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專(zhuān)題：立體幾何

分析：（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，從而△EDC∽△EBA，所以有

ED

EB

=

EC

EA

=

DC

AB

，利用比例的性質(zhì)可得

1

2

•

1

3

=（

DC

AB

）²，得到

DC

AB

的值；
（2）根據(jù)題意中的比例中項(xiàng)，可得

EF

FA

=

FB

FE

，結(jié)合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（1）的結(jié)論∠EDC=∠EBF，利用等量代換可得∠FEA=∠EDC，內(nèi)錯(cuò)角相等，所以EF∥CD．

解答： 解：（1）∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EBA，可得

ED

EB

=

EC

EA

=

DC

AB

，
∴

ED

EB

•

EC

EA

=（

DC

AB

）²，即

1

2

•

1

3

=（

DC

AB

）²，
∴

DC

AB

=

6

6

；
（2）∵EF²=FA•FB，
∴

EF

FA

=

FB

FE

，
又∵∠EFA=∠BFE，
∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，
又∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠EDC=∠EBF，
∴∠FEA=∠EDC，
∴EF∥CD．

點(diǎn)評(píng)：本題在圓內(nèi)接四邊形的條件下，一方面證明兩條直線平行，另一方面求線段的比值．著重考查了圓中的比例線段、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．