Question

已知函數f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-cos2x+a（a∈R，a為為常數）
（1）求函數 f（x）的最小正周期和單調區(qū)間
（2）若函數f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后院，得到函數g（x）的圖象關于y軸對稱，求實數m的最小值．

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法,正弦函數的單調性,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由兩角和與差的正弦公式化簡可得函數解析式f（x）=2sin（2x-

π

6

）+a，由正弦函數的圖象和性質即可求函數 f（x）的最小正周期和單調區(qū)間．
（2）由函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換求得函數解析式，然后根據整體思想求得對稱軸，最后確定最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-cos2x+a=

3

sin2x-cos2x+a=2sin（2x-

π

6

）+a，
∴T=

2π

2

=π，
∴由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
∴函數 f（x）的單調遞增區(qū)間是：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z，函數 f（x）的單調遞減區(qū)間是：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z，
（2）函數f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后，得到函數解析式為：g（x）=2sin[2（x-m）-

π

6

]+a=2sin（2x-2m-

π

6

）+a，
∵函數g（x）的圖象關于y軸對稱，
∴由2m+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z可解得：m=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴由m＞0，實數m的最小值是

π

6

．

點評：本題主要考查了三角函數的周期性及其求法，正弦函數的單調性，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基礎題．