Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點F₁和右焦點F₂，上頂點為A，AF₂的中垂線交橢圓于點B，若左焦點F₁在線段AB上，則橢圓離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 設|BF₂|=t，由橢圓的定義可得|BF₁|=2a-t，再由中垂線的性質(zhì)，可得|AB|=|BF₂|=t，即有|AF₁|=2t-2a，在△AF₁F₂中，cos∠AF₁F₂=$\frac{c}{a}$，在△BF₁F₂中由余弦定理，可得cos∠BF₁F₂=$\frac{2c}{a}$-$\frac{a}{c}$=-$\frac{c}{a}$，再由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設|BF₂|=t，由橢圓的定義可得|BF₁|=2a-t，
由B為AF₂的中垂線上一點，可得|AB|=|BF₂|=t，
即有|AF₁|=2t-2a，
又|AF₁|=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=a，
解得t=$\frac{3a}{2}$，
即有|AF₂|=|AF₁|=a，|BF₁|=$\frac{a}{2}$，|BF₂|=$\frac{3a}{2}$，|F₁F₂|=2c，
在△AF₁F₂中，cos∠AF₁F₂=$\frac{c}{a}$，
可得cos∠BF₁F₂=-cos∠AF₁F₂=-$\frac{c}{a}$，
由余弦定理，可得cos∠BF₁F₂=$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+4{c}^{2}-\frac{9{a}^{2}}{4}}{2•\frac{a}{2}•2c}$=$\frac{2c}{a}$-$\frac{a}{c}$，
即有$\frac{2c}{a}$-$\frac{a}{c}$=-$\frac{c}{a}$，即為a²=3c²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的定義和中垂線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的余弦定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．