Question

20．已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F作斜率為1的直線，與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求線段AB的長度；
（2）點(diǎn)P在x軸上，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=x-1，聯(lián)立直線與拋物線方程可求x₁+x₂，x₁x₂，代入弦長公式|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，可求線段AB的長度；
（2）P在x軸上，設(shè)P（x，0），求得向量$\overrightarrow{PA}$=（x₁-x，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-x，y₂），根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x²-6x-3，即可求得x的值．

解答 解：（1）∵拋物線y²=4x上的焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則可設(shè)直線AB的方程為y=x-1
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得x²-6x+1=0，
由韋達(dá)定理可得：x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{32}$=8，
線段AB的長度8；
（2）P在x軸上，設(shè)P（x，0），
$\overrightarrow{PA}$=（x₁-x，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-x，y₂），
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₁-x）•（x₂-x）+y₁y₂=x₁x₂-x（x₁+x₂）+x²+x₁x₂-（x₁+x₂）+1，
=1-6x+x²+1-6+1，
=x²-6x-3，
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3，
x²-6x-3=-3，
解得：x=0或x=6，
點(diǎn)P的橫坐標(biāo)（0，0）或（6，0）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．