Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若點(diǎn)P為直線ρcosθ-ρsinθ-4=0上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\frac{1}{4}{t}^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）上一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 直線ρcosθ-ρsinθ-4=0化為x-y-4=0，曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\frac{1}{4}{t}^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為x²=4y．設(shè)與此拋物線相切且與直線x-y-4=0平行的直線方程為x-y+m=0，代入拋物線方程可化為x²-4x+4m=0，利用△=0，解得m．可得切點(diǎn)Q．求出點(diǎn)Q到直線l的距離d即可得出．

解答 解：直線ρcosθ-ρsinθ-4=0化為x-y-4=0，
曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\frac{1}{4}{t}^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為x²=4y．
設(shè)與此拋物線相切且與直線x-y-4=0平行的直線方程為x-y+m=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+m=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化為x²-4x+4m=0，
∵△=16-16m=0，解得m=1．
可得切點(diǎn)Q（2，1）．
∴點(diǎn)Q到直線l的距離d=$\frac{|2-1-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴|PQ|的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化、直線與拋物線相切、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題