Question

20．在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且EB=AB=2，CD=1，
（1）求二面角D-AB-C的正切值
（2）求AD與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由條件證明AB⊥平面BEDC，可得∠DBC為二面角D-AB-C的平面角．解直角三角形BCD，求得tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}$ 的值．
（2）取BE得中點(diǎn)N，則DN⊥BE．由平面和平面垂直的性質(zhì)可得DN⊥平面ABE，∠DAN即為AD與平面ABE所成角．再根據(jù)sin∠DAN=$\frac{DN}{DA}$，求得結(jié)果．

解答 解：（1）等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC．
又BE和CD都垂直于平面ABC，∴AB⊥BE，∴AB⊥平面BEDC，∴∠DBC為二面角D-AB-C的平面角．
直角三角形BCD中，由EB=AB=2，CD=1，可得tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{2}$．
（2）由于DB=DE=$\sqrt{5}$，故△DBE為等腰三角形，取BE得中點(diǎn)N，則DN⊥BE．
由（1）AB⊥平面BEDC，可得平面ABE⊥平面BEDC，且平面ABE和平面BEDC 的交線(xiàn)為BE，
故DN⊥平面ABE，∠DAN即為AD與平面ABE所成角．
sin∠DAN=$\frac{DN}{DA}$=$\frac{2}{\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}+1}}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)和平面成的角的定義和求法，平面和平面垂直的性質(zhì)，二面角的平面角的定義和求法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．