Question

5．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為線段DD₁的中點
（1）求證：AC⊥平面BDD₁
（2）求EA與平面BDD₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，可證DD₁⊥AC，又AC⊥BD，即可證明AC⊥平面BDD₁．
（2）設(shè)AC∩BD=O，連接EO，由AC⊥平面DD₁B，可得∠AEO為EA與平面BDD₁所成角．不妨設(shè)正方形的邊長為2，AO=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{5}$，即可由sin∠AEO=$\frac{AO}{AE}$求值．

解答 本題滿分為12分
解：（1）證明：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥AC
又∵在正方向ABCD中，AC⊥BD
∴AC⊥平面BDD₁…6分
（2）設(shè)AC∩BD=O，連接EO，
∵AC⊥平面DD₁B，
∴∠AEO為EA與平面BDD₁所成角．
不妨設(shè)正方形的邊長為2，AO=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{5}$，
可得：sin∠AEO=$\frac{AO}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$…12分．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，考查了空間想象能力和推論論證能力，屬于中檔題．