Question

4．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{t}\end{array}$（t為參數(shù)），點A（1，0），B（3，-$\sqrt{3}}$），若以直角坐標系xOy的O點為極點，x軸正方向為極軸，且長度單位相同，建立極坐標系．
（1）求直線AB的極坐標方程；
（2）求直線AB與曲線C交點的極坐標．

Answer 1

分析 （1）由點A、B寫出直線AB的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可；
（2）把曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，求出直線與曲線的交點，再化為極坐標即可．

解答 解：（1）由點A（1，0），B（3，-$\sqrt{3}}$），
所以直線AB的直角坐標方程為：$\sqrt{3}x+2y-\sqrt{3}=0$，…（2分）
化為極坐標方程是：$\sqrt{3}ρcosθ+2ρsinθ=\sqrt{3}$；…（4分）
（2）曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{t}\end{array}$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)，化為普通方程是：y²=x（y≥0）；…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x+2y=\sqrt{3}\\{y^2}=x（{y≥0}）\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，
即交點的直角坐標為$（{\frac{1}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$；…（8分）
化為極坐標是：$（{\frac{2}{3}，\frac{π}{3}}）$．…（10分）

點評 本題考查了直角坐標與參數(shù)方程和極坐標的互化問題，是綜合性題目．