Question

13．直線$\sqrt{2}$ax+by=1與圓x²+y²=1相交于A，B兩點(diǎn)（期中a，b是實(shí)數(shù)），且△AOB是直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（0，1）之間距離的最大值．

Answer 1

分析 由△AOB是直角三角形，得${a}^{2}=1-\frac{^{2}}{2}$，由此利用兩點(diǎn)間距離公式能求出點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（0，1）之間距離的最大值．

解答 解：∵△AOB是直角三角形，
∴$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2a²+b²=2，∴${a}^{2}=1-\frac{^{2}}{2}$，
則|MP|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{2}+（b-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}（b-2）^{2}}$，
∵b²≤2，即-$\sqrt{2}≤b≤\sqrt{2}$，
∴b=-$\sqrt{2}$時，點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（0，1）之間距離有最大值$\sqrt{2}+1$．

點(diǎn)評 本題考查兩點(diǎn)間距離的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．