Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＜0，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-2）
• B． （-∞，-1）
• C． （1，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由題意判斷出a＞0，再由題意函數(shù)的極小值f（ $\frac{2}{a}$）＞0，從而求出a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1，f（0）=1，且f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＜0，圖象如圖：
∴a＞0，
∴f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）=0時的解為x=0，x=$\frac{2}{a}$；x∈（-∞，0），x∈（$\frac{2}{a}$，+∞）函數(shù)是增函數(shù)，x∈（0，$\frac{2}{a}$）函數(shù)是減函數(shù)，所以x=$\frac{2}{a}$函數(shù)取得極小值，
∴f（$\frac{2}{a}$）=a（$\frac{2}{a}$）³-3（$\frac{2}{a}$）²+1=$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$＞0，
則a＞2．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的零點的判斷，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值的應(yīng)用，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力．