Question

20．已知函數(shù)f（x）=（1-2a）lnx+ax+$\frac{2}{x}$，其中a∈R．
（1）當a=1時，求f（x）的極值；
（2）記函數(shù)g（x）=f（x）+（2a-3）lnx-$\frac{3a+4}{x}$，若g（x）在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導，再根據(jù)導數(shù)和極值的關系即可求出；
（2）先求導，再構(gòu)造函數(shù)，得到h（x）=ax²-2x+（3a-2）≤0在[1，4]上恒成立，根據(jù)方程根的關系即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）：當a=1時，f（x）=-lnx+x+$\frac{2}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=-$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-2）（x+1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=2，
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當x=2時，函數(shù)f（x）有極小值，即為f（1）=3，無極大值；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）+（2a-3）lnx-$\frac{3a+4}{x}$
=（1-2a）lnx+ax+$\frac{2}{x}$+（2a-3）lnx-$\frac{3a+4}{x}$=-2lnx+ax-$\frac{3a+2}{x}$，
∴g′（x）=-$\frac{2}{x}$+a+$\frac{3a+2}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-2x+（3a-2）}{{x}^{2}}$，
設h（x）=ax²-2x+（3a-2）
∵g（x）在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞減，
∴h（x）≤0，在[1，4]上恒成立，
當a=0時，h（x）=-2x-2＜0在[1，4]上恒成立，滿足題意，
當a≠0時，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a（3a-2）≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{h（1）≤0}\\{h（4）≤0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4a-4≤0}\\{19a-10≤0}\end{array}\right.$，
解得a≤-$\frac{1}{3}$或0＜a≤$\frac{10}{19}$，
綜上所述a的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{3}$]∪[0，$\frac{10}{19}$]

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的極值和單調(diào)性的關系，以及函數(shù)與方程根的關系，考查了轉(zhuǎn)化思想，以及分類討論的思想，屬于中檔題．