Question

6．設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知$\frac{{S}_{5}}{{S}_{10}}$=$\frac{1}{3}$，若{a_n}是等比數(shù)列，則公比q=$\root{5}{2}$；若{a_n}是等差數(shù)列，則$\frac{{S}_{10}}{{S}_{20}}$=$\frac{3}{10}$．

Answer 1

分析 若{a_n}是等比數(shù)列，則q≠1，可得$\frac{{S}_{5}}{{S}_{10}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（{q}^{5}-1）}{q-1}}{\frac{{a}_{1}（{q}^{10}-1）}{q-1}}$=$\frac{1}{3}$，化簡解得q．若{a_n}是等差數(shù)列，不妨設(shè)S₅=1，S₁₀=3，利用S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀，S₂₀-S₁₅成等差數(shù)列，即可得出．

解答 解：若{a_n}是等比數(shù)列，則q≠1，∴$\frac{{S}_{5}}{{S}_{10}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（{q}^{5}-1）}{q-1}}{\frac{{a}_{1}（{q}^{10}-1）}{q-1}}$=$\frac{1}{3}$，可得q⁵=2，解得q=$\root{5}{2}$．
若{a_n}是等差數(shù)列，不妨設(shè)S₅=1，S₁₀=3，
則S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀，S₂₀-S₁₅成等差數(shù)列，
∴2×（3-1）=1+S₁₅-3，解得S₁₅=6．
∴2×（6-3）=2+S₂₀-6，解得S₂₀=10．
則$\frac{{S}_{10}}{{S}_{20}}$=$\frac{3}{10}$．
故答案為：$\root{5}{2}$，$\frac{3}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力屬于中檔題．