【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點.
(1)證明PA∥平面BDE;
(2)證明:DE⊥面PBC;
(3)求直線AB與平面PBC所成角的大小.
【答案】
(1)證明:連結(jié)AC,設(shè)AC與BD交于O點,連結(jié)EO,
由O,E分別為AC,CP中點,
∴OE∥PA
又OE平面EDB,PA平面EDB,
∴PA∥平面EDB
(2)證明:由PD⊥平面ABCD∴PD⊥BC又CD⊥BC,
∴BC⊥平面PCD,DE⊥BC.
由PD=DC,E為P中點,故DE⊥PC.
∴DE⊥平面PBC
(3)解:將幾何體放到正方體中,則可得直線AB與平面PBC所成角的大小為45°
【解析】(1)連結(jié)AC,設(shè)AC與BD交于O點,連結(jié)EO,易證EO為△PAC的中位線,從而OE∥PA,再利用線面平行的判斷定理即可證得PA∥平面BDE;(2)依題意,易證DE⊥底面PBC,再利用面面垂直的判斷定理即可證得平面BDE⊥平面PBC;(3)將幾何體放到正方體中,則可得直線AB與平面PBC所成角的大。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某居民小區(qū)內(nèi)建有一塊矩形草坪ABCD,AB=50米,,為了便于居民平時休閑散步,該小區(qū)物業(yè)管理公司將在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路OE,EF和OF,考慮到小區(qū)整體規(guī)劃,要求O是AB的中點,點E在邊BC上,點F在邊AD上,且,如圖所示.
(Ⅰ)設(shè),試將的周長l表示成的函數(shù)關(guān)系式,并求出此函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)經(jīng)核算,三條路每米鋪設(shè)費用均為400元,試問如何設(shè)計才能使鋪路的總費用最低?并求出最低總費用.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合M={ ( x ,y ) | y=f(x) },若對于任意( x1 ,y1 )∈M,都存在( x2 ,y2 )∈M,使得x1 x2 +y1 y2 =0成立,則稱集合M是“理想集合”,則下列集合是理想集合的是( )
A. M={ ( x ,y ) | y= } B. M={ ( x ,y ) | y=log2 (x-1) }
C. M={ ( x ,y ) | y=x2-2x+2 } D. M={ ( x ,y ) | y=cosx }
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中是實數(shù).
(l)若 ,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,若為函數(shù)圖像上一點,且直線與相切于點,其中為坐標原點,求的值;
(3) 設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為,若在定義域內(nèi)恒成立,則稱函數(shù)具有某種性質(zhì),簡稱“函數(shù)”.當時,試問函數(shù)是否為“函數(shù)”?若是,請求出此時切點的橫坐標;若不是,清說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)定義域為,若對于任意的,都有,且時,有.
(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;
(3)設(shè),若,對所有,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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