Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中是實(shí)數(shù)．

(l）若 ，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2）當(dāng)時(shí)，若為函數(shù)圖像上一點(diǎn)，且直線與相切于點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值；

(3) 設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，若在定義域內(nèi)恒成立，則稱函數(shù)具有某種性質(zhì)，簡(jiǎn)稱“函數(shù)”．當(dāng)時(shí)，試問(wèn)函數(shù)是否為“函數(shù)”？若是，請(qǐng)求出此時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不是，清說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）；（3）是“函數(shù)”， .

【解析】試題分析：（1）求出，分別令和可以得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間．（2）由題設(shè)，曲線在處的切線過(guò)原點(diǎn)，故 ，整理得到，根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)以及得到．（3）函數(shù)在處的切線方程為： ，

構(gòu)造函數(shù)

其導(dǎo)數(shù)為分別討論和時(shí)的符號(hào)以及進(jìn)一步討論的單調(diào)性可知在和上不是“函數(shù)”，故，經(jīng)檢驗(yàn)符合．

解析：（1）由，得， （），， 由得： ；由得： ．所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

（2）由，得， ． ， 所以切線的斜率．又切線的斜率為，所以， ，即，設(shè)， ，所以，函數(shù)在(0,＋∞)上為遞增函數(shù)，且是方程的一個(gè)解，即是唯一解，所以，．

（3）當(dāng)時(shí)，由函數(shù)在其圖象上一點(diǎn)處的切線方程為 ，

令

設(shè) ，則．

且

當(dāng) 時(shí)， ，則在上有 ，故在上單調(diào)遞增，故當(dāng)有，所以在有；

當(dāng) 時(shí)， ，則在上有 ，故在上單調(diào)遞增，故當(dāng)有，所以在有；

因此，在上 不是“函數(shù)”．

當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．

所以， 時(shí)， ， ；

時(shí)， ， ．因此，切點(diǎn)為點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為．