【題目】已知橢圓的離心率為,點在橢圓

I求橢圓的方程;

II設(shè)動直線與橢圓有且僅有一個公共點,判斷是否存在以原點為圓心的圓,滿足此圓與相交于兩點兩點均不在坐標(biāo)軸上,且使得直線的斜率之積為定值?若存在,求此圓的方程;若不存在,說明理由

【答案】III

【解析】

試題分析:I借助題設(shè)條件建立方程組求解;II借助題設(shè)運用直線與橢圓的位置關(guān)系推證和探求

試題解析:

I由題意得:,,

又點在橢圓上,,解得,,

橢圓的方程為………………5分

II存在符合條件的圓,且此圓的方程為

證明如下:假設(shè)存在符合條件的圓,并設(shè)此圓的方程為

當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)的方程為

由方程組

直線與橢圓有且僅有一個公共點,

,即

由方程組,

設(shè),則,

設(shè)直線的斜率分別為

,將代入上式,

要使得為定值,則,即,代入驗證知符合題意

當(dāng)圓的方程為時,圓與的交點滿足為定值

當(dāng)直線的斜率不存在時,由題意知的方程為

此時,圓的交點也滿足

綜上,當(dāng)圓的方程為時,

圓與的交點滿足直線的斜率之積為定值……………………12分

練習(xí)冊系列答案
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A. B.

C. D.

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x

2

3

4

5

6

y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

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