Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期和g（x）=tan

3

2

x的最小正周期相同，且當x=

π

12

時取得最大值4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求出其單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f(

2

3

α+

π

12

)=

12

5

，求sinα的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由周期求得ω，由函數(shù)的最大值求出A和φ，可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)f（x）的解析式以及 f(

2

3

α+

π

12

)=

12

5

，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式求得sinα的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得求f（x）的最小正周期為

π

3 2

=

2π

3

=

2π

ω

，∴ω=3．
再根據(jù)當x=

π

12

時取得最大值4可得A=4，且sin（3×

π

12

+φ）=1，結(jié)合0＜φ＜π可得φ=

π

4

，
∴f（x）=4sin（3x+

π

4

）．
令2kπ+

π

2

≤3x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，求得

2kπ

3

+

π

12

≤x≤

2kπ

3

+

5π

12

，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[

2kπ

3

+

π

12

，

2kπ

3

+

5π

12

]，k∈z．
（Ⅱ）∵f(

2

3

α+

π

12

)=

12

5

=4sin[3（

2α

3

+

π

12

）+

π

4

）=4sin（2α+

π

2

）=4cos2α=4（1-2sin²α），
求得sinα=±

5

5

．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．