Question

15．已知函數f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，x∈R，若對任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$]，都有f（msinθ）+f（1-m）＞0成立，則實數m的取值范圍（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 根據條件判斷函數的奇偶性和單調性，利用函數的奇偶性和單調性將不等式進行轉化，利用參數分離法進行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，
∴f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{2}$=-$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$=-f（x），則函數f（x）為奇函數，
且函數f（x）在（-∞，+∞）是為增函數，
由f（msinθ）+f（1-m）＞0得f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1），
則msinθ＞m-1，
即（1-sinθ）m＜1，
當θ=$\frac{π}{2}$時，sinθ=1，此時不等式等價為0＜1成立，
當θ∈（0，$\frac{π}{2}$），0＜sinθ＜1，
∴m＜$\frac{1}{1-sinθ}$，
∵0＜sinθ＜1，∴-1＜-sinθ＜0，
0＜1-sinθ＜1，則$\frac{1}{1-sinθ}$＞1，
則m≤1，
故選：D

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數分離法結合函數奇偶性和單調性的性質是解決本題的關鍵．