Question

8．已知曲線y=$\frac{1}{3}$x³，
（1）求曲線在點P（2，f（2））處的切線方程；
（2）求曲線過點P（2，$\frac{8}{3}$）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）切點為（2，$\frac{8}{3}$），根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=2處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程；
（2）設(shè)出切點坐標，求出切線的斜率，由點斜式寫出切線方程，把原點代入切線方程中化簡可求出切點的橫坐標，把橫坐標代入即可求出切點的縱坐標，且得到切線的斜率，即可求出切線方程．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{3}$x³，的導數(shù)為y′=x²，
在點P（2，f（2））處的斜率為f′（2）=4，
切點為（2，$\frac{8}{3}$），
則曲線在點P（2，f（2））處的切線方程為y-$\frac{8}{3}$=4（x-2），
即為12x-3y-16=0；
（2）設(shè)過點P（2，$\frac{8}{3}$）的直線與曲線相切，切點坐標為（m，$\frac{1}{3}$m³），
所以切線的斜率為f′（m）=m²，
所以切線方程為y-$\frac{1}{3}$m³=m²（x-m），
因為切線過點P（2，$\frac{8}{3}$），
所以$\frac{8}{3}$-$\frac{1}{3}$m³=m²（2-m），
解得m=2或m=-1，
當m=2時，切線方程為12x-3y-16=0，
當m=-1時，切線方程為3x-3y+2=0．
所以，所求切線方程為12x-3y-16=0或3x-3y+2=0．

點評 本題主要考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程等基礎(chǔ)知識，注意在某點處和過某點的切線，考查運算求解能力．屬于中檔題和易錯題．