Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，AD=33，sin∠BAD=

5

13

，cos∠ADC=

3

5

．
（Ⅰ）求sin∠ABD的值；   
（Ⅱ）求△ABD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由條件求得cos∠ADB和sin∠ADB、cos∠BAD的值，再根據(jù)sin∠ABD=sin（π-∠ADC-∠BAD）=sin（∠ADC+∠BAD），再利用兩角和的正弦公式計(jì)算求得結(jié)果．
（Ⅱ）△ABD中，由正弦定理求得AB=52，根據(jù)△ABD的面積為S=

1

2

•AB•AD•sin∠BAD，計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，在△ABC中，∵cos∠ADC=

3

5

，∴cos∠ADB=-

3

5

，sin∠ADB=

4

5

．
∵sin∠BAD=

5

13

，∴cos∠BAD=

12

13

．
∴sin∠ABD=sin（π-∠ADC-∠BAD）=sin（∠ADC+∠BAD）
=sin∠ADB•cos∠BAD+cos∠ADB•sin∠BAD=

4

5

×

12

13

+（-

3

5

）×

5

13

=

33

65

．
（Ⅱ）△ABD中，由正弦定理可得

AD

sin∠ABD

=

AB

sin∠ADB

，即

33

33 65

=

AB

4 5

，求得AB=52，
故△ABD的面積為S=

1

2

•AB•AD•sin∠BAD=

1

2

×52×33×

5

13

=

10

33

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式、正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．