Question

13．已知直線l的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，曲線C的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）把直線l和曲線C的方程分別化為直角坐標(biāo)方程和普通方程；
（2）求曲線C上的點到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，能求出直線l的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)sin²θ+cos²θ=1，消參后能求出曲線C的普通方程．
（2）求出圓心C到直線l：x+y-2=0的距離d=$\sqrt{2}$＞1=r，直線l與圓C相離，由此得到圓上的點到直線的最大距離是圓心到直線的距離加半徑．

解答 解：（1）∵直線l的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
∴$psinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，
∴ρsinθ+ρcosθ=2，
根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，代入得：直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0．
∵曲線C的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴根據(jù)sin²θ+cos²θ=1，消參后得曲線C的普通方程是：x²+y²=1．
（2）∵曲線C：x²+y²=1是以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓，
圓心C到直線l：x+y-2=0的距離d=$\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$＞1=r，
∴直線l與圓C相離，
∴圓上的點到直線的最大距離是圓心到直線的距離加半徑，
∴曲線C上的點到直線l距離的最大值為$\sqrt{2}+1$．

點評 本題考查直線的直角坐標(biāo)方程和圓的普通方程的求法，考查點到直線的距離的最大值的求法，解題時要注意點到直線的距離公式的合理運(yùn)用．