Question

4．在直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosa\\ y=\sqrt{3}sina\end{array}$（a為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標方程．
（2）設(shè)P為曲線C₁上的動點，求點P到C₂上點的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由cos²α+sin²α=1，能求出曲線C₁的普通方程，由正弦加法定理和ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線C₂的直角坐標方程．
（2）由點P到直線距離公式和三角函數(shù)性質(zhì)，能求出點P到C₂上點的距離的最小值．

解答 解：（1）∵在直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosa\\ y=\sqrt{3}sina\end{array}$（a為參數(shù)），
∴曲線C₁的普通方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
∵曲線C₂的極坐標方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，∴ρsinθ+ρcosθ=4，
∴曲線C₂的直角坐標方程為x+y-4=0．
（2）∵P為曲線C₁上的動點，∴P（cosα，$\sqrt{3}sinα$），
∴點P到C₂上點的距離d=$\frac{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|2sin（θ+\frac{π}{6}）-4|$≥$\sqrt{2}$．
∴點P到C₂上點的距離的最小值是$\sqrt{2}$．

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標方程、普通方程、直角坐標方程的互化，考查點到直線的距離的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意點到直線距離公式的合理運用．