Question

5．如圖，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，AB=4，
C是⊙O上一點(diǎn)，且AC=BC，PC與⊙O所在的平面成45°角，E是PC中點(diǎn)．F為PB中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥面ABC；
（2）求證：EF⊥面PAC；
（3）求三棱錐B-PAC的體積．

Answer 1

分析 （1）欲證EF∥面ABC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與面ABC內(nèi)一直線平行即可，根據(jù)中位線可知EF∥BC，又BC?面ABC，EF?面ABC，滿足定理所需條件；
（2）欲證EF⊥PC，可先證EF⊥面PAC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證EF與面PAC內(nèi)兩相交直線垂直，而PA⊥面ABC，BC?面ABC，則BC⊥PA，而AB是⊙O的直徑，則BC⊥AC，又PA∩AC=A，則BC⊥面PAC，滿足定理?xiàng)l件；
（3）根據(jù)PA⊥面ABC，則PA即為三棱錐B-PAC的高，將三棱錐B-PAC的體積轉(zhuǎn)化成三棱錐P-ABC的體積，根據(jù)錐體的體積公式進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：在△PBC中，∵E，F(xiàn)分別為PC，PB中點(diǎn)，∴EF∥BC，
又∵BC?面ABC，EF?面ABC，∴EF∥面ABC；
（2）證明：∵PA⊥面ABC，BC?面ABC，∴BC⊥PA，
∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC，
又∵PA∩AC=A，∴BC⊥面PAC．
∵EF∥BC，∴EF⊥面PAC，
∵PC?面PAC，∴EF⊥PC；
（3）解：在Rt△ABC中，AC=BC=2$\sqrt{2}$，∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4，
∵PA⊥面ABC，PC與⊙O所在的平面成45°角，
∴PA=2$\sqrt{2}$，∴V_B-PAC=V_P-ABC=$\frac{1}{3}×4×2\sqrt{2}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與平面平行的判定，以及空間兩直線的位置關(guān)系的判定和三棱錐的體積的計(jì)算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現(xiàn)，值得重視．