Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx-mx，m∈R．
（1）若m=1，求曲線y=f（x）在點P（1，-1）處的切線方程；
（2）若f（x）沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，即可得到所求切線方程；
（2）f（x）沒有零點，即為lnx=mx無正數(shù)解，即m=$\frac{lnx}{x}$的無正根，求得y=$\frac{lnx}{x}$的單調(diào)區(qū)間和極值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
曲線y=f（x）在點P（1，-1）處的切線為k=1-1=0，
則切線的方程為y=-1；
（2）f（x）沒有零點，即為lnx=mx無正數(shù)解，
即m=$\frac{lnx}{x}$無正根，
由y=$\frac{lnx}{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞e時，y′＜0，函數(shù)遞減；當(dāng)0＜x＜e時，y′＞0，函數(shù)遞增．
即有x=e處取得極大值，且為最大值$\frac{1}{e}$．
即有$\frac{lnx}{x}$≤$\frac{1}{e}$．
由于y=m和y=$\frac{lnx}{x}$沒有交點，
則有m＞$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查運算能力，屬于中檔題．