Question

如圖①，△BCD內(nèi)接于直角梯形A₁A₂A₃D，A₁D∥A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，A₁D=10，A₁A₂=8，沿△BCD三邊將△A₁BD、△A₂BC、△A₃CD翻折上去，恰好形成一個(gè)三棱錐ABCD，如圖②．

（1）求證：AB⊥CD；
（2）求直線BD和平面ACD所成的角的正切值；
（3）求四面體ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得AB⊥AD，AB⊥AC．從而AB⊥平面ACD，由此能證明AB⊥CD．
（2）由AB⊥平面ACD，得AD為BD在平面ACD內(nèi)的射影，從而∠BDA是直線BD和平面ACD所成的角，由此能求出直線BD和平面ACD所成的角的正切值．
（3）由（2）得：AB=4，AC=6，AD=10，CD=2

17

，從而S△ABC=

611

，由此能求出四面體ABCD的體積．

解答： （1）證明：∵在直角梯形A₁A₂A₃D中，A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C，
∴在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，AB⊥AC．
∵AC∩AD=A，∴AB⊥平面ACD．
∵CD?平面ACD，∴AB⊥CD．
（2）解：由（1）知AB⊥平面ACD，
∴AD為BD在平面ACD內(nèi)的射影，
∠BDA是直線BD和平面ACD所成的角．
依題意，在直角梯形A₁A₂A₃D中，
A₁D=A₃D=10，A₁B=A₂B=4，
∴在三棱錐ABCD中，AD=10，AB=4．
在Rt△ABD中，tan∠BDA=

AB

AD

=

4

10

=

2

5

．
∴直線BD和平面ACD所成的角的正切值為

2

5

．
（3）解：由（2）得：AB=4，AC=6，AD=10，CD=2

17

，
∴S△ABC=

611

，
∴四面體ABCD的體積：V=

1

3

×

611

×4=

4 611

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，考查四面體的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．