Question

已知α∈（0，

π

2

），且滿足2sin²α=cos2α-sin2α．
（1）求tanα的值；
（2）若β∈（

π

2

，π），且sinβ=

2 5

5

，求α+β

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù),同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由條件可得（3sinα-cosα）（sinα+cosα）=0，根據(jù)α∈(0，

π

2

)，sinα+cosα＞0，可得3sinα-cosα=0，由此求得tanα的值．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanβ=-2，可得 tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

 的值．再根據(jù)α、β的范圍，可得α+β∈（

π

2

，

3π

2

），從而求得α+β的值．

解答： 解：（1）由2sin²α=cos2α-sin2α得 3sin²α+2sinαcosα-cos²α=0，（3sinα-cosα）（sinα+cosα）=0．
∵α∈(0，

π

2

)，∴sinα+cosα＞0，
∴3sinα-cosα=0，即tanα=

1

3

．
（2）若β∈（

π

2

，π），且sinβ=

2 5

5

，∴cosβ=-

5

5

，∴tanβ=

sinβ

cosβ

=-2，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 3 +(-2)

1- 1 3 ×(-2)

=-1．
再根據(jù)α、β的范圍，可得α+β∈（

π

2

，

3π

2

），∴α+β=

3π

4

．

點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正切公式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．