在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，一條準(zhǔn)線方程為x=4．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M，設(shè)直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值．
（1）由題意得
c
a
=
1
2
a2
c
=4
a2=b2+c2
，解得
a2=4
b2=3
，∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）設(shè)P（x0，y0）（y0≠0），
則直線AP的方程為：y=
y0
x0+2
（x+2）
令x=2得M（2，
4y0
x0+2
）
∴k1=
2y0
x0+2
，
∵k2=
y0
x0-2
，
∴k1k2=
2
y20
x20
-4
，
∵P（x0，y0）在橢圓上，∴
x02
4
+
y02
3
=1
∴k1k2═-
3
2
為定值．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

（理）已知方程x4+y2=1，給出下列結(jié)論：①它的圖形關(guān)于x軸對(duì)稱；②它的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱；③它的圖形是一條封閉的曲線，且面積小于π；④它的圖形是一條封閉的曲線，且面積大于π.真命題的序號(hào)是           .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
2
+y2=1的弦被點(diǎn)（
1
2
，
1
2
）平分，則這條弦所在的直線方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

長方形ABCD，AB=2
2
，BC=1，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）過點(diǎn)p（0，2）的直線m與（1）中橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線m的方程：
（3）過點(diǎn)p（0，2）的直線l交（1）中橢圓與M，N兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)？若存在，直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，A（-1，0），B（1，0），過曲線C1：y=x2-1（|x|≥1）上一點(diǎn)M的切線l，與曲線C2：y=-
m(1-x2)
(|x|＜1)也相切于點(diǎn)N，記點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t（t＞1）．
（1）用t表示m的值和點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，∠MAB=∠NAB？并求此時(shí)MN所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若點(diǎn)（3，1）是拋物線y2=2px（p＞0）的一條弦的中點(diǎn)，且這條弦所在直線的斜率為2，則p=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)為橢圓
x2
3
+
y2
2
=1的右焦點(diǎn)F．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，求P到直線y=x+3的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，從橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，又點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB∥OP，|F1A|=
10
+
5
，
（1）求橢圓E的方程．
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)C，D，且
OC
⊥
OD
？若存在，寫出該圓的方程，并求|CD|的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且點(diǎn)P（0，1）在C1上．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程．

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