Question

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a²+b²=ab+3，C=60°．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求a+b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由條件利用余弦定理求得 c²=a²+b²-2ab•cosC的值，從而求得的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得c²=3=（a+b）²-3ab，利用基本不等式求得a+b的最大值；再由三角形任意兩邊之和大于第三邊可得a+b＞c=

3

，綜合可得a+b的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵a²+b²=ab+3，C=60°，∴c²=a²+b²-2ab•cosC=a²+b²-ab=3，∴c=

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得c²=a²+b²-ab=3=（a+b）²-3ab≥（a+b）²-3×(

a+b

2

)2，∴（a+b）²≤12，a+b≤2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)．
再由三角形任意兩邊之和大于第三邊可得a+b＞c=

3

，
故要求的a+b的范圍為（

3

，2

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，基本不等式，屬于中檔題．