Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}{a_n}+d，\frac{n}{k}∉{N^*}\\ q{a_n}，\frac{n}{k}∈{N^*}\end{array}\right.$（k∈N^*，k≥2，且q、d為常數(shù)），若{a_n}為等比數(shù)列，且首項為a（a≠0），則{a_n}的通項公式為a_n=a或${a_n}={（{-1}）^{n-1}}a$．

Answer 1

分析 通過①k=2，求出的數(shù)列的首項與公差推出通項公式a_n=a或${a_n}={（{-1}）^{n-1}}a$，②若k≥3，求解a_n=a，檢驗是否適合題意．

解答 解：①若k=2，則a₁=a，a₂=a+d，a₃=（a+d）q，a₄=（a+d）q+d，
由${a_1}•{a_3}={a_2}^2$，得a+d=aq，由${a_2}•{a_4}={a_3}^2$，得（a+d）q²=（a+d）q+d，
聯(lián)立兩式，得$\left\{\begin{array}{l}d=0\\ q=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}d=-2a\\ q=-1\end{array}\right.$，則a_n=a或${a_n}={（{-1}）^{n-1}}a$，經(jīng)檢驗均合題意．
②若k≥3，則a₁=a，a₂=a+d，a₃=a+2d，由${a_1}•{a_3}={a_2}^2$，
得（a+d）²=a（a+2d），得d=0，則a_n=a，經(jīng)檢驗適合題意．
綜上①②，滿足條件的{a_n}的通項公式為a_n=a或${a_n}={（{-1}）^{n-1}}a$．
故答案為：a_n=a或${a_n}={（{-1}）^{n-1}}a$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力．