Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax+sinx的圖象在某兩點(diǎn)處的切線相互垂直，則a的值為0．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得兩切點(diǎn)處的切線的斜率，運(yùn)用兩直線垂直的條件，結(jié)合二次函數(shù)的值域求法，對a討論，考慮等式有解的條件，即可得到a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax+sinx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=cosx+a，
設(shè)圖象上兩點(diǎn)（m，s），（n，t），
即有兩切線的斜率分別為k₁=cosm+a，k₂=cosn+a，
假設(shè)函數(shù)f（x）=ax+sinx的圖象上存在互相垂直的切線，
不妨設(shè)在x=m與x=n處的切線互相垂直，可得k₁k₂=-1，
則（a+cosm）（a+cosn）=-1，
∴a²+（cosm+cosn）a+（cosmcosn+1）=0   （*）
因?yàn)閍的值必然存在，即方程（*）必然有解，所以
判別式△=（cosm+cosn）²-4（cosmcosn+1）≥0
所以  cos²m+cos²n-2cosmcosn=（cosm-cosn）²≥4
解得cosm-cosn≥2  或   cosm-cosn≤-2
由于|cosx|≤1，所以有cosm=1，cosn=-1  或 cosm=-1，cosn=1，且△=0
所以（*）變?yōu)椋篴²=0所以a=0
故答案為：0．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，同時(shí)考查兩直線垂直的條件，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．