Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x-1|+|x-2|-a}$的定義域?yàn)镽．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)正數(shù)m，n滿足m+2n=a_max時，求$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由絕對值的意義可得|x-1|+|x-2|≥2，可得a≤2；
（2）可得正數(shù)m，n滿足m+2n=2，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（m+2n）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2n}{m}$+$\frac{2m}{n}$），由基本不等式可得．

解答 解：（1）∵|x-1|+|x-2|表示x到1和2的距離之和，
由絕對值的意義可得|x-1|+|x-2|≥2，
∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x-1|+|x-2|-a}$的定義域?yàn)镽，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤2；
（2）∵正數(shù)m，n滿足m+2n=a_max=2，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（m+2n）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2n}{m}$+$\frac{2m}{n}$）
≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{2m}{n}}$）=$\frac{9}{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2n}{m}$=$\frac{2m}{n}$即m=n=$\frac{2}{3}$時取等號，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式求最值，涉及函數(shù)定義域和恒成立，屬中檔題．