Question

4．設(shè)z，ω為復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，若（1+2i）•z為純虛數(shù)，z=（1+2i）•ω，|ω|=5，求復(fù)數(shù)ω．

Answer 1

分析 設(shè)ω=a+bi，b≠0，則（1+2i）•z=（1+2i）²•（a+bi）=（-3+4i）（a+bi）=（-3a-4b）+（4a-3b）i，由此利用（1+2i）•z為純虛數(shù)，|ω|=5，能求出復(fù)數(shù)ω．

解答 解：∵z，ω為復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，z=（1+2i）•ω，
∴設(shè)ω=a+bi，b≠0，
則（1+2i）•z=（1+2i）²•（a+bi）=（-3+4i）（a+bi）=（-3a-4b）+（4a-3b）i，
∵（1+2i）•z為純虛數(shù)，|ω|=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3a-4b=0}\\{4a-3b≠0}\\{{a}^{2}+^{2}=25}\end{array}\right.$，
解得a=4，b=-3或a=-4，b=3，
∴ω=4-3i或ω=-4+3i．

點評 本題考查復(fù)數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意復(fù)數(shù)的性質(zhì)和代數(shù)形式的混合運算法則的合理運用．