Question

某公司為一家制冷設備廠設計生產一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，ABCD（AB＞AD）為長方形薄板，沿AC折疊后，AB折痕為AB′，AB′交DC于點P，當凹多邊形ACB′PD的面積最大時制冷效果最好．
（1）設AB=x米，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
（2）若要求制冷效果最好，應怎樣設計薄板的長和寬？

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由題意，設DP=y，則PC=x-y．因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．由  PA²=AD²+DP²，代入即可求出；
（2）記△ADP的面積為S，則S=

1

2

x（2-x）+（1-

1

x

）（2-x）=3-

1

2

（x²+

4

x

）（1＜x＜2）求出當x=

3	2

時，S取得最大值，從而求出長和寬．

解答： 解：（1）由題意，AB=x，BC=2-x．因x＞2-x，故1＜x＜2，
設DP=y，則PC=x-y．
因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．
由  PA²=AD²+DP²，
得  （x-y）²=（2-x）²+y²⇒y=2（1-

1

x

）（1＜x＜2）．
（2）記△ADP的面積為S，則
S=

1

2

x（2-x）+（1-

1

x

）（2-x）=3-

1

2

（x²+

4

x

）（1＜x＜2）
于是，S′=

1

2

（2x-

4

x2

）=

-x3+2

x2

=0⇒x=

3	2

，
關于x的函數S在（1，

3	2

）上遞增，在（

3	2

，2）上遞減．
所以當x=

3	2

時，S取得最大值
故當薄板長為

3	2

米，寬為2-

3	2

米時，制冷效果最好．

點評：本題考查了函數解析式的求法，自變量的取值范圍，考查求函數的最值問題，是一道綜合題．