Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{x_n}滿足x_n+

1

xn+1

＜2（n∈N^*）．
（1）證明：x_n+

1

xn

≥2；
（2）證明：x_n＜x_n+1；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：x_n＞

n-1

n

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：推理和證明

分析：（1）可以利用基本不等式進(jìn)行證明；（2）利用（1）的結(jié)論，通過不等式傳遞，得到本題結(jié)果；（3）可以將原不等式利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答： 證明：（1）∵x_n＞0，∴xn+

1

xn

≥2

xn× 1 xn

=2，∴x_n+

1

xn

≥2；，當(dāng)且僅當(dāng)x_n=1時(shí)，等號(hào)成立．
（2）由（1）知xn+

1

xn

≥2，又x_n+

1

xn+1

＜2，
所以

1

xn

＞

1

xn+1

，所以x_n＜x_n+1．
（3）①當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立； 
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)不等式成立，即xk＞

k-1

k

．
當(dāng)n=k+1時(shí)，由xn+

1

xn+1

＜2，得xk+1＞

1

2-xk

＞

1

2- k-1 k

=

k

k+1

，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立； 
綜上，對(duì)一切n∈N^*都有xn＞

n-1

n

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的不等式和數(shù)列的知識(shí)，包括基本不等式、解不等式、數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法，思維量較大．