Question

15．己知平面向量|$\overrightarrow{OA}$|=2，$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$的夾角為120°，$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），求|$\overrightarrow{OC}$|的最小值．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$可知A，B，C三點(diǎn)共線，于是|$\overrightarrow{OC}$|的最小值為O到直線AB的距離．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），
∴$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（λ-1）$\overrightarrow{OA}$-（λ-1）$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{AC}$=（λ-1）$\overrightarrow{BA}$，
∴A，B，C三點(diǎn)共線，
∵$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$的夾角為120°，即$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{AB}$的夾角為120°，
∴∠OAB=60°，
∴O到直線AB的距離d=OA•sin60°=$\sqrt{3}$．
∴當(dāng)OC⊥AB時(shí)，|$\overrightarrow{OC}$|取得最小值$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．