Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（b＞a），若對任意x∈R，f（x）≥0恒成立，則$\frac{a+b+c}{b-a}$的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 由題意可得 b＞a＞0，再由△≤0得到c≥$\frac{^{2}}{4a}$，然后轉(zhuǎn)化為不等式求最值．

解答 解：∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c≥0（b＞a）恒成立，故 b＞a＞0．
再由△≤0得到c≥$\frac{^{2}}{4a}$．
則$\frac{a+b+c}{b-a}$≥$\frac{a+b+\frac{^{2}}{4a}}{b-a}$=$\frac{4{a}^{2}+^{2}+4ab}{4a（b-a）}$=$\frac{[3a+（b-a）]^{2}}{4a（b-a）}$≥$\frac{（2\sqrt{3a（b-a）}）^{2}}{4a（b-a）}$=$\frac{12a（b-a）}{4a（b-a）}=3$，
當3a=b-a，且c=$\frac{^{2}}{4a}$時，$\frac{a+b+c}{b-a}$的最小值為3，
故選：A．

點評 本題考查恒成立問題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，式子的變形是解題的關(guān)鍵和難點，屬于中檔題．