Question

1．已知a＞0，b＞-1，且a+b=1，則$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{^{2}}{b+1}$的最小值為$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 a＞0，b＞-1，且a+b=1，可得b=1-a＞-1，又0＜a，解得0＜a＜2．于是$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{^{2}}{b+1}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{2-a}$=f（a），
法①：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值．
法②：f（a）=$\frac{1}{2}$（a+2-a）$（\frac{2}{a}+\frac{1}{2-a}）$=$\frac{1}{2}$（3+2×$\frac{2-a}{a}+\frac{a}{2-a}$），利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞-1，且a+b=1，∴b=1-a＞-1，又0＜a，解得0＜a＜2．
則$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{^{2}}{b+1}$=a+$\frac{2}{a}$+$\frac{（1-a）^{2}}{2-a}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{2-a}$=f（a），
法①：f′（a）=$-\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{（2-a）^{2}}$=$\frac{-（{a}^{2}-8a+8）}{（2a-{a}^{2}）^{2}}$=$\frac{-[a-（4+2\sqrt{2}）][a-（4-2\sqrt{2}）]}{（2a-{a}^{2}）^{2}}$．
可得：當且僅當a=4-2$\sqrt{2}$，b=2$\sqrt{2}$-3時，函數(shù)f（a）取得最小值，f（4-2$\sqrt{2}$）=$\frac{2}{4-2\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2-（4-2\sqrt{2}）}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
法②：f（a）=$\frac{1}{2}$（a+2-a）$（\frac{2}{a}+\frac{1}{2-a}）$=$\frac{1}{2}$（3+2×$\frac{2-a}{a}+\frac{a}{2-a}$）$≥\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{2（2-a）}{a}×\frac{a}{2-a}}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，當且僅當a=4-2$\sqrt{2}$，b=2$\sqrt{2}$-3時取等號．
故答案為：$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．