Question

20．已知函數(shù)f（x）二次函數(shù)，且滿足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求解析式f（x）；
（2）討論f（x）在[0，a]上的值域．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出二次函數(shù)的一般形式后，代入f（x+1）-f（x）=2x，化簡后根據(jù)多項(xiàng)式相等，各系數(shù)相等即可求出a，b及c的值，即可確定出f（x）的解析式；
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，通過討論a的范圍，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值，得到y(tǒng)=f（x）的值域即可．

解答 解：（1）令f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
代入f（x+1）-f（x）=2x，
得：a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x，
2ax+a+b=2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-1；
又∵f（0）=c=1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）由（1）得：
f（x）的對稱軸是x=$\frac{1}{2}$，
①當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)：f（x）在[0，a]遞減，
f（x）_min=f（a）=a²-a+1，f（x）_max=f（0）=1，
函數(shù)的值域是[a²-a+1，1]；
②當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a≤1時(shí)：f（x）在[0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，a]遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，f（x）_max=f（1）=1，
函數(shù)的值域是[$\frac{3}{4}$，1]；
③當(dāng)a＞1時(shí)：f（x）在[0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，a]遞增，
f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，f（x）_max=f（a）=a²-a+1，
函數(shù)的值域是[$\frac{3}{4}$，a²-a+1]．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的步驟及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．